DH算法圖解+數(shù)學(xué)證明 淺顯易懂

前幾天和同事討論IKE密鑰交換流程時(shí)，提到了Diffie-Hellman交換。DH算法最主要的作用便是在不安全的網(wǎng)絡(luò)上成功公共密鑰(并未傳輸真實(shí)密鑰)。但由于對于DH算法的數(shù)學(xué)原理則不清楚，因此私下對DH算法進(jìn)行一個簡單學(xué)習(xí)。

1. DH算法的交互流程：

Alice和Bob都有一個只有自己知道的私鑰，在特定規(guī)則(g， a， p)下生成自己的公鑰A; Alice將自己的公鑰A，連同g， p共同發(fā)給BobBob在收到Alice發(fā)送來的公鑰A， g， p后，先使用相同的規(guī)則((g， a， p))生成自己的公鑰B;在使用Alice的公鑰A計(jì)算生成共享密鑰KBob將自己的公鑰B發(fā)送給Alice即可。(Alice已經(jīng)有g(shù)， p， 因此無需在發(fā)送)Alice在接收到Bob的公鑰B后，使用相同的規(guī)則計(jì)算成功共享密鑰K

至此，Alice 和 Bob便同時(shí)擁有了共享密鑰K。此時(shí)由于各自的私鑰a，b未在互聯(lián)網(wǎng)上傳播，因此即使存在窺探者Eve，他僅通過公開的A\B\g\p在短時(shí)間內(nèi)無法破解出a，b，K。因此DH算法便可以在不安全的網(wǎng)絡(luò)上協(xié)商出密鑰，基于此構(gòu)建安全的加密通道。

2. 疑問：Alice和Bob最后計(jì)算的K值一樣嗎？

對于DH整個交互流程來說，比較簡單，基本都可以理解。但是忽然說最后的K值相等，這多少有點(diǎn)突然和難以置信，讓人有點(diǎn)猝不及防。

書本上都是這樣解釋的：

所以Alice和Bob的共享密鑰K是相同的。但是，總感覺沒有g(shù)et到要領(lǐng)和精髓。因?yàn)槲也恢續(xù)od（求余）的運(yùn)算規(guī)則，不知道如下等式是否成立？？？

因此半夜凌晨1點(diǎn)從剛暖熱乎的被窩又爬了出來，想要證明下他們給的公式是否正確( 其實(shí)當(dāng)成定理記住也就OK了，不過我嘛，還是爬起來了)。證明這個公式也很簡單：將求余運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加減乘除運(yùn)算，然后利用二項(xiàng)式展開公式便可以得到答案。

至于為什么要將求余運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加減乘除四則運(yùn)算，原因是我不知道求余算法的規(guī)則，不然我也不需要多此一舉了。

證明開始：

令：

則：

根據(jù)①②式可得：

將③帶入上式可得：

使用二項(xiàng)式展開公式將